6.6. 通过时间反向传播¶

如果读者做了上一节的练习，就会发现，如果不裁剪梯度，模型将无法正常训练。为了深刻理解这一现象，本节将介绍循环神经网络中梯度的计算和存储方法，即通过时间反向传播（back-propagation through time）。

我们在“正向传播、反向传播和计算图”一节中介绍了神经网络中梯度计算与存储的一般思路，并强调正向传播和反向传播相互依赖。正向传播在循环神经网络中比较直观，而通过时间反向传播其实是反向传播在循环神经网络中的具体应用。我们需要将循环神经网络按时间步展开，从而得到模型变量和参数之间的依赖关系，并依据链式法则应用反向传播计算并存储梯度。

6.6.1. 定义模型¶

简单起见，我们考虑一个无偏差项的循环神经网络，且激活函数为恒等映射（\(\phi(x)=x\)）。设时间步\(t\)的输入为单样本\(\boldsymbol{x}_t \in \mathbb{R}^d\)，标签为\(y_t\)，那么隐藏状态\(\boldsymbol{h}_t \in \mathbb{R}^h\)的计算表达式为

\[\boldsymbol{h}_t = \boldsymbol{W}_{hx} \boldsymbol{x}_t + \boldsymbol{W}_{hh} \boldsymbol{h}_{t-1},\]

其中\(\boldsymbol{W}_{hx} \in \mathbb{R}^{h \times d}\)和\(\boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}\)是隐藏层权重参数。设输出层权重参数\(\boldsymbol{W}_{qh} \in \mathbb{R}^{q \times h}\)，时间步\(t\)的输出层变量\(\boldsymbol{o}_t \in \mathbb{R}^q\)计算为

\[\boldsymbol{o}_t = \boldsymbol{W}_{qh} \boldsymbol{h}_{t}.\]

设时间步\(t\)的损失为\(\ell(\boldsymbol{o}_t, y_t)\)。时间步数为\(T\)的损失函数\(L\)定义为

\[L = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \ell (\boldsymbol{o}_t, y_t).\]

我们将\(L\)称为有关给定时间步的数据样本的目标函数，并在本节后续讨论中简称为目标函数。

6.6.2. 模型计算图¶

为了可视化循环神经网络中模型变量和参数在计算中的依赖关系，我们可以绘制模型计算图，如图6.3所示。例如，时间步3的隐藏状态\(\boldsymbol{h}_3\)的计算依赖模型参数\(\boldsymbol{W}_{hx}\)、\(\boldsymbol{W}_{hh}\)、上一时间步隐藏状态\(\boldsymbol{h}_2\)以及当前时间步输入\(\boldsymbol{x}_3\)。

图 6.3 时间步数为3的循环神经网络模型计算中的依赖关系。方框代表变量（无阴影）或参数（有阴影），圆圈代表运算符

6.6.3. 方法¶

刚刚提到，图6.3中的模型的参数是\(\boldsymbol{W}_{hx}\)、\(\boldsymbol{W}_{hh}\)和\(\boldsymbol{W}_{qh}\)。与“正向传播、反向传播和计算图”一节中的类似，训练模型通常需要模型参数的梯度\(\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hx}\)、\(\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh}\)和\(\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{qh}\)。根据图6.3中的依赖关系，我们可以按照其中箭头所指的反方向依次计算并存储梯度。为了表述方便，我们依然采用“正向传播、反向传播和计算图”一节中表达链式法则的运算符prod。

首先，目标函数有关各时间步输出层变量的梯度\(\partial L/\partial \boldsymbol{o}_t \in \mathbb{R}^q\)很容易计算：

\[\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t} = \frac{\partial \ell (\boldsymbol{o}_t, y_t)}{T \cdot \partial \boldsymbol{o}_t}.\]

下面，我们可以计算目标函数有关模型参数\(\boldsymbol{W}_{qh}\)的梯度\(\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{qh} \in \mathbb{R}^{q \times h}\)。根据图6.3，\(L\)通过\(\boldsymbol{o}_1, \ldots, \boldsymbol{o}_T\)依赖\(\boldsymbol{W}_{qh}\)。依据链式法则，

\[\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{qh}} = \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{qh}}\right) = \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t} \boldsymbol{h}_t^\top.\]

其次，我们注意到隐藏状态之间也存在依赖关系。在图6.3中，\(L\)只通过\(\boldsymbol{o}_T\)依赖最终时间步\(T\)的隐藏状态\(\boldsymbol{h}_T\)。因此，我们先计算目标函数有关最终时间步隐藏状态的梯度\(\partial L/\partial \boldsymbol{h}_T \in \mathbb{R}^h\)。依据链式法则，我们得到

\[\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_T} = \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_T}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_T}{\partial \boldsymbol{h}_T} \right) = \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_T}.\]

接下来对于时间步\(t < T\)，在图6.3中，\(L\)通过\(\boldsymbol{h}_{t+1}\)和\(\boldsymbol{o}_t\)依赖\(\boldsymbol{h}_t\)。依据链式法则，目标函数有关时间步\(t < T\)的隐藏状态的梯度\(\partial L/\partial \boldsymbol{h}_t \in \mathbb{R}^h\)需要按照时间步从大到小依次计算：

\[\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} = \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}}{\partial \boldsymbol{h}_t} \right) + \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{o}_t}{\partial \boldsymbol{h}_t} \right) = \boldsymbol{W}_{hh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_{t+1}} + \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_t}.\]

将上面的递归公式展开，对任意时间步\(1 \leq t \leq T\)，我们可以得到目标函数有关隐藏状态梯度的通项公式

\[\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} = \sum_{i=t}^T {\left(\boldsymbol{W}_{hh}^\top\right)}^{T-i} \boldsymbol{W}_{qh}^\top \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{o}_{T+t-i}}.\]

由上式中的指数项可见，当时间步数\(T\)较大或者时间步\(t\)较小时，目标函数有关隐藏状态的梯度较容易出现衰减和爆炸。这也会影响其他包含\(\partial L / \partial \boldsymbol{h}_t\)项的梯度，例如隐藏层中模型参数的梯度\(\partial L / \partial \boldsymbol{W}_{hx} \in \mathbb{R}^{h \times d}\)和\(\partial L / \partial \boldsymbol{W}_{hh} \in \mathbb{R}^{h \times h}\)。在图6.3中，\(L\)通过\(\boldsymbol{h}_1, \ldots, \boldsymbol{h}_T\)依赖这些模型参数。依据链式法则，我们有

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{hx}} &= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{hx}}\right) = \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} \boldsymbol{x}_t^\top,\\ \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{W}_{hh}} &= \sum_{t=1}^T \text{prod}\left(\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t}, \frac{\partial \boldsymbol{h}_t}{\partial \boldsymbol{W}_{hh}}\right) = \sum_{t=1}^T \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{h}_t} \boldsymbol{h}_{t-1}^\top. \end{aligned}\end{split}\]

我们已在“正向传播、反向传播和计算图”一节里解释过，每次迭代中，我们在依次计算完以上各个梯度后，会将它们存储起来，从而避免重复计算。例如，由于隐藏状态梯度\(\partial L/\partial \boldsymbol{h}_t\)被计算和存储，之后的模型参数梯度\(\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hx}\)和\(\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh}\)的计算可以直接读取\(\partial L/\partial \boldsymbol{h}_t\)的值，而无须重复计算它们。此外，反向传播中的梯度计算可能会依赖变量的当前值。它们正是通过正向传播计算出来的。举例来说，参数梯度\(\partial L/\partial \boldsymbol{W}_{hh}\)的计算需要依赖隐藏状态在时间步\(t = 0, \ldots, T-1\)的当前值\(\boldsymbol{h}_t\)（\(\boldsymbol{h}_0\)是初始化得到的）。这些值是通过从输入层到输出层的正向传播计算并存储得到的。

6.6.4. 小结¶

通过时间反向传播是反向传播在循环神经网络中的具体应用。
当时间步数较大或者时间步较小时，循环神经网络的梯度较容易出现衰减或爆炸。

6.6.5. 练习¶

除了梯度裁剪，你还能想到别的什么方法应对循环神经网络中的梯度爆炸？